Бифуркационное множество
Вторым примером гиперболической омбилики в хорошо поставленной задаче может служить бифуркационная неустойчивость атомной решетки под действием внешних нагрузок, которая исследована Томпсоном и Шорроком [82, 83] и будет обсуждаться в гл. 4. Она возникает в кристалле, когда при одноосном растяжении может развиться относительный сдвиг, нарушающий симметрию задачи, а наложение поперечного сжатия может вызвать неустойчивость типа точки ветвления в вершине (рис. 20). Граница устойчивости в трехмерном пространстве управляющих параметров пред--ставляет поверхность разрушающих напряжений, изображенную на рис. 24.
БИФУРКАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ АТОМНОЙ РЕШЕТКИ
102 Гл. 4, Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
t(U Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
106 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
108 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
1 10 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
112 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
116 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
118 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетка
120 Гл. 4. Бифуркационная неустойчивость атомной решетки
Не только ответ хорошо нам знаком — всё проведенное вычисление также знакомо: мы проводили его в предыдущем параграфе, когда искали бифуркационное множество. Это совпадение можно объяснить следующим образом. Для фиксированного t уравнение (5.8) определяет прямую в пространстве XYt. Объединение этих прямых для всех t есть линейчатая поверхность, и в то же время это обычная поверхность сборки Уитни. Соответствующее отображение катастрофы проектирует поверхность, а значит и прямые, на плоскость XY; это эквивалентно тому, чтобы представлять себе (5.8) как семейство прямых в плоскости XY, получающееся при изменении t. Огибающая этого семейства является образом особенностей проекции х, см. рис. 5.15. (Заметим кстати, что связь с огибающими послужила для Тома одной из отправных точек при создании теории катастроф.)
В большинстве приложений наиболее важно именно бифуркационное множество, так как оно лежит в пространстве управления, а следовательно „наблюдаемо", и так как все скачки, происходящие в соответствии с принципом промедления, происходят на нем. Но в зависимости от того, какое конкретное приложение мы рассматриваем, иногда в игру вступает больше (а иногда и меньше) геометрических характеристик катастрофы.
Всю геометрию катастрофы суммирует рис. 9.1. Многообразие катастрофы представляет собою параболу, бифуркационное множество состоит из одной точки; налево от нее имеются два состояния (максимум и минимум), направо — ни одного.
Это согласуется с § 2 гл. 5. Бифуркационное множество есть образ этой кривой в С, т. е. множество точек
Бифуркационное множество также отражает эту структуру, хотя оно имеет и дополнительные черты, связанные с особенностями отображения катастрофы, например острие в 0. Точная геометрическая картина того, как М располагается над С, также отражает характерные свойства струй: прямая кубических струй, дающих тип складки, действительно задает в М линию складок. Это — следствие универсальности катастрофы складки как деформации функции X3, и данное обстоятельство является общим.
(сама точка ласточкина хвоста лежит, конечно, в начале). Одновременно бифуркационное множество параметризуется с помощью q и г как множество точек
Легко видеть, что эта кривая должна иметь такой вид, как на рис. 9.4 (скажем, ясно, что а и с должны быть отрицательными, и очевидны порядки скоростей роста координат с ростом г). Исследовать форму поверхности (9.7) можно, беря сечения при фиксированных а; мы получим семейство кривых, типичные представители которых изображены на рис. 9.5. В результате становится ясно, что бифуркационное множество имеет такой вид, как показано на рис. 9.6. Имеется линия самопересечения (вдоль которой функция имеет две различные точки перегиба, соответственно двум кускам плоскости складок), она имеет форму параболы с вершиной в начале; вторая половина параболы, иногда называемая усом, не входит в бифуркационное множество, но ответственна за некоторые свойства над полем комплексных чисел (см. об этом у Постона и Стюарта [25], стр. 130). Отыскать кривую самопересечения можно следующим простым способом. Если у функции Vabc(x) имеются две точки перегиба, то ее производная
(вложите рис. 9.3 в R*: новую ось представляйте себе как время, тогда рис. 9.3 отвечает настоящему, а по обе стороны от него лежат прошлое и будущее). В начале мы имеем точку бабочки типа Xе, на прямой — ласточкины хвосты X5; те в свою очередь лежат на плоскости сборок (стандартные сборки X4 по одну сторону прямой и двойственные —X4 по другую); эта плоскость лежит в пространстве R3 складок X3; с одной стороны ее (в прошлом) располагаются морсов-ские максимумы, с другой (в будущем)— морсовские минимумы. Эта структура переносится с помощью формул, которые можно явно выписать на многообразие катастрофы. Это последнее отображается в С весьма сложным образом, с самопересечениями и с особенностями других различных типов; бифуркационное множество лучше всего изображать с помощью двумерного семейства двумерных сечений. На рис. 9.9, заимствованном у Вудкока и Постона 120], показан вид сечений, отвечающих различным постоянным а и и и рассматриваемых в плоскости cd. Следуя Зима-ну [44], действие этих четырех параметров управления можно грубо описать следующим образом.
При Ь=0 и а>0 сечение выглядит как бифуркационное множество катастрофы сборки Уитни с управляющими па-
Теперь с помощью проекции в пространство управления мы можем найти бифуркационное множество, для чего нужно выразить Ь, с через х, у и а. Три прямые сборок переходят в кривые
чающейся поверхности; вся поверхность в целом является образом двойного конуса. Сказанного уже достаточно, чтобы догадаться, что бифуркационное множество выглядит так, как изображено на рис. 9.16; мы проверим это следующим образом.
 Читайте далее:
 Безопасной концентрации
Безопасной остановки
Безопасное оборудование
Безопасное производство
Безопасность сохранение
Безопасного обслуживания
Безопасного применения
Безопасному использованию
Безопасному производству
Безопасности деятельности
Безопасности газоспасательной
Безопасности инженерно
Безопасности использование
Безопасности космического
Безопасности населения
|
