Динамические бифуркации
Рис. 8. Динамическая бифуркация нелинейного осциллятора.
тельно, при В=ВС возникает динамическая бифуркация Хопфа, при которой образуется устойчивый закритический предельный цикл. Некоторые полученные численно фазовые портреты полных нелинейных уравнений кинетики показаны на следующих трех рисунках.
откуда следует, что при U=U° имеет место динамическая бифуркация. Для закритического поведения в первом приближении имеем
Ясно, что динамическая бифуркация является бифуркацией устойчивого типа с устойчивым предельным циклом, растущим по мере того, как U увеличивается, превзойдя значение IIе. Разделив на U, получим
Силы Кориолиса дают антисимметричную матрицу, поэтому эти силы не совершают работу и их можно классифицировать как гироскопические. Два дифференциальных уравнения движения оказываются связанными только благодаря силам Кориолиса. Поскольку в рассматриваемой гироскопической системе имеется положительно определенное демпфирование, минимум общей потенциальной энергии будет как необходимым, так и достаточным условием устойчивости, а значит, неустойчивость можно будет легко предсказать. Из-за непрерывной диссипации энергии образование предельных циклов будет невозможно, и, следовательно, появится динамическая бифуркация Хопфа. Однако, как мы увидим, в основном неустойчивом состоянии равновесия при нагрузках выше второй эйлеровой критической нагрузки под действием сил Кориолиса может происходить увеличение амплитуды колебаний. Другими словами, хотя кориолисовы силы могут влиять на детали динамики, эти не совер-
Галопирование плохообтекаемого упруго опертого тела в стационарном потоке жидкости может носить неустойчивый динамический характер, а значит, можно ожидать некоторой чувствительности к несовершенствам, как это имело место в статическом случае. Однако известно, что при изменении единственного управляющего параметра такая динамическая бифуркация Хопфа остается топологически устойчивой; это означает, что изменением второго управляющего параметра нельзя скруглить или разрушить топологическую форму бифуркации Хопфа.
Рис. 8. Динамическая бифуркация нелинейного осциллятора.
тельно, при В=ВС возникает динамическая бифуркация Хопфа, при которой образуется устойчивый] закритический предельный цикл. Некоторые полученные численно фазовые портреты полных нелинейных уравнений кинетики показаны на следующих трех рисунках.
откуда следует, что при U=UC имеет место динамическая бифуркация. Для закритического поведения в первом приближении имеем
Ясно, что динамическая бифуркация является бифуркацией устойчивого типа с устойчивым предельным циклом, растущим по мере того, как U увеличивается, превзойдя значение Uc. Разделив на U, получим
Силы Кориолиса дают антисимметричную матрицу, поэтому эти силы не совершают работу и их можно классифицировать как гироскопические. Два дифференциальных уравнения движения оказываются связанными только благодаря силам Кориолиса. Поскольку в рассматриваемой гироскопической системе имеется положительно определенное демпфирование, минимум общей потенциальной энергии будет как необходимым, так и достаточным условием устойчивости, а значит, неустойчивость можно будет легко предсказать. Из-за непрерывной диссипации энергии образование предельных циклов будет невозможно, и, следовательно, появится динамическая бифуркация Хопфа. Однако, как мы увидим, в основном неустойчивом состоянии равновесия при нагрузках выше второй эйлеровой критической нагрузки под действием сил Кориолиса может происходить увеличение амплитуды колебаний. Другими словами, хотя кориолисовы силы могут влиять на детали динамики, эти не совер-
Галопирование плохообтекаемого упруго опертого тела в стационарном потоке жидкости может носить неустойчивый динамический характер, а значит, можно ожидать некоторой чувствительности к несовершенствам, как это имело место в статическом случае. Однако известно, что при изменении единственного управляющего параметра такая динамическая бифуркация Хопфа остается топологически устойчивой; это означает, что изменением второго управляющего параметра нельзя скруглить или разрушить топологическую форму бифуркации Хопфа.
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации 17
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации 19
этого цикла, то возникнут возрастающие колебания, даже если управляющий параметр Л меньше своего критического значения. Устойчивое тривиальное решение при этом называют метаустой-чивым, как в соответствующей статической неустойчиво симметричной бифуркации. Наиболее типичные динамические бифуркации такого типа называют бифуркациями Хопфа J) после появления знаменитой теоремы [44, 45].
устойчивости всех рассматриваемых траекторий равновесия. Кроме того, Хусейн в полной мере использует наличие многих управляющих параметров, следуя своей более ранней работе [33,35]. Динамические бифуркации типа Хопфа также поддаются изучению в терминах теории катастроф; это кратко описано Стюартом в имеющем большое значение обзоре [296].
Рис. 111. Четыре характерные формы поведения коэффициента сопротивления, данные Новаком [97], и результирующий динамический отклик системы на графике зависимости амплитуды предельного цикла у от скорости ветра V. Динамические бифуркации показаны в точке с критической скоростью Vе, устойчивые предельные циклы обозначены непрерывной кривой, неустойчивые предельные циклы — штриховой кривой. Скачок амплитуды колебаний, который будет наблюдаться при медленном увеличении скорости ветра, обозначается вертикальной стрелкой. Воспроизводится с разрешения Science Council of Japan.
В последней в этом списке статье Руссле и Херрманна [117], опубликованной в 1977 г., дается нелинейный теоретический анализ шарнирно сочлененной трубы из двух звеньев, по которой течет жидкость. В рассмотрение включено демпфирование. Наблюдаются устойчивые и неустойчивые точки динамической бифуркации, получена зависимость знака закритическои кривизны от отношения масс, хорошо коррелирующая с экспериментом. Заданной величиной здесь является высота гидростатического напора, а не скорость течения. Эта работа является существенным вкладом в проблему течения в трубах, предсказывая как за-, так и докритические динамические бифуркации, зависящие от точного отношения масс в модели шарнирно сочлененных труб.
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации..... 17
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации 17
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации
1.3. Нелинейные статические и динамические бифуркации 19
 Читайте далее:
 Добровольные газоспасательные
Добровольной газоспасательной
Документы характеризующие
Документы удостоверяющие
Документами приказами
Документами указанными
Документом регламентирующим
Документов регламентирующих
Действующее оборудование
Должности приказами
Должностными инструкциями
Дополнениями утвержденными
Действующих промышленных предприятий
Дополнительные требования
Дополнительных источников
|
