Многообразие катастрофы
Эта карта не только дает локальные координаты вблизи начала, она дает на самом деле координаты на всем М, и одной карты в этом случае хватает для всего многообразия катастрофы. Матрица Якоби для я: V->R3 имеет вид
Заметьте, как использование тейлоровских коэффициентов в качестве координат карты вскрывает структуру М как образа плоскости, на которой имеется прямая точек складки (где 3-струя функции принимает вид Xs, характеристический для складки), а на этой прямой имеется точка, дающая точку сборки многообразия катастрофы (в этой
Типы функций (потенциалов), отвечающие некоторым представительным в смысле расположения относительно В точкам, показаны на рис. 9.12. Расположение многообразия катастрофы над бифуркационным множеством иллюстрируется парой типичных сечений, изображенных на рис. 9.13. Отметим пятикратное накрытие кармана, отвечающее тому факту, что многочлен шестой степени может иметь три различных минимума и два максимума (или наоборот, в двойственном случае).
Миражи происходят, когда температурные градиенты в атмосфере искривляют лучи света. Подробное описание возникающих при этом эффектов можно найти у Фрейзера и Маха [83]; мы приведем как их объяснение, так и версию теории катастроф. Если температура меняется с высотой, как показано на рис. 12.32(а), то световые лучи, попадающие в глаз наблюдателя, приходят туда по искривленным путям, изображенным (несколько утрированно) на рис. 12.32(Ь). Эти пути имеют огибающую типа складки, но для нас более важно здесь подчеркнуть многозначный характер соответствующего многообразия катастрофы, ко-
Ясно, что мы попадаем в обычную для теории катастроф ситуацию, с Л в качестве внешнего(-их), или управляю-щего(-их), параметра(-ов) и с кривой (поверхностью, многообразием) равновесия в качестве многообразия катастрофы. Правда, когда мы приближаемся к особенности, все немного усложняется. В механике обычно оказывается, что способ, которым рассматриваемый минимум становится
в прежнем „простейшем" выражении может пролить свет на то, что не сохраняется при сильной эквивалентности (и это рекомендуется проделать в качестве упражнения читателям, интересующимся различными специальными свойствами, которые не обязательно сохраняются). К числу свойств, которые сохраняются, относится направление острия в точке сборки, а тем самым и направление, в котором множество Максвелла (или „кривая точек фазового перехода первого рода") выходит из точки (О, О, 0): по определению сильная эквивалентность сохраняет выходящие из начала направления. (Однако к этому числу не относятся такие вещи, как кривизна множества Максвелла, которая зависит от более высоких производных по р и t; для ее сохранения потребовалась бы еще более сильная эквивалентность, теоремы о которой могут быть доказаны теми же методами.) В нашем случае мы уже знаем это направление, так как оно зажато между кривыми складок проекции алгебраически простого многообразия катастрофы, заданного вандерваальсовым уравнением состояния. В других случаях мы можем найти его из соображений симметрии. Но когда термодинамический потенциал выводится
этого у нас здесь нет места. Читатель, незнакомый с этим языком, может пропустить вычисления, но мы их все же включили в достаточно подробном виде, так как они много проще всего, на что мы могли бы сослаться в литературе. Во второй и третьей частях содержится вывод „лазерных уравнений" и описание нескольких экспериментов, которые проводились с лазером. В четвертой части лазерные уравнения движения изучены при совершенно другом наборе граничных условий. Мы приходим к неожиданному результату, что имеется взаимно-однозначное соответствие между этими двумя совсем разными физическими системами и что это соответствие устанавливается с помощью многообразия катастрофы, которое их обоих представляет. В эпилоге обсуждаются возможные пути эксплуатации таких соответствий в будущих исследованиях в области критических физических систем.
Это — кубическое уравнение относительно ожидаемого значения амплитуды поля (a)s („параметра порядка"), поэтому оно может быть приведено к канонической форме многообразия катастрофы сборки:
Несколько более новый для теории катастроф тип поведения возникает, когда поверхность катастрофы и уровень порога имеют пересечение. На рис. 16.23 (а) переход в пространстве управления через точку Р немедленно приводит к обратимому внезапному изменению (стандартная модель генного переключения; в теории катастроф это более известно как результат принципа Максвелла). Ситуация же, представленная на рис. 16.23 (Ь), дает гистерезис. Если „управляющей" переменной служит точка физического пространства, то в случае рис. 16.23(а) мы имеем границу, которая будет сдвигаться при малых изменениях многообразия катастрофы М со временем в результате пересечения клетками порога переключения. В случае же рис. 16.23 (Ь) принцип промедления даст в типичном случае множество состояний, подобное жирной кривой на рис. 16.23 (с), с разрывом, на положение которого малые изменения М не влияют.
ли мы можем сказать о том, каким типичным геометриям будут подчиняться имеющиеся данные? Идея здесь такая: предположить, что точка, изображающая состояние системы, обычно находится вблизи многообразия катастрофы, и дальше рассуждать, исходя из соображений типичности. Иногда раздаются голоса, возражающие против этой процедуры, поскольку природа силы, удерживающей точку на многообразии катастрофы (потенциал, функция Ляпунова и т. д.), не определена; это те же голоса, mutatis mutandis, что возражали против необъясненных сил, действующих на расстоянии, в ньютоновой модели тяготения. Вполне законно будет сказать вместе с Ньютонсм: „Hypothesis поп fingo"1, и приступить к проверке модели. Можно по-прежнему надеяться на улучшенную теорию, которая даст более подробные объяснения действующим силам, как это сделала общая теория относительности для силы тяготения, но требовать этого неоправданно. (Никто не спрашивает, какой потенциал удерживает общественные системы на плоскостях и гиперплоскостях, столь прилежно изыскиваемых современной численной социологией. Точно также нам не нужно было в гл. 11 заниматься обсуждением динамики при рассмотрении блистательно успешного приложения к исследованию течений в полимерных растворах.) Чтобы проверить модель, мы должны, как делал Ньютон, получить предсказания с помощью отвечающей ей геометрии и сравнить их с данными наблюдений. Какие же проверяемые предсказания можем мы получить из сделанного общего допущения в нашем случае?
Однако все это пока придирки. Настоящее возражение состоит в том, что весь этот механизм является конструкцией ad hoc, продиктованной начальным предположением, что график есть сборка. Несмотря на дату публикации, эта модель восходит к тому раннему времени, когда моделирование с помощью катастрофы сборки понималось просто как „ищи кривую с острием". Если принять рис. 17.11 за кривую с острием, то волей-неволей приходится считать ее бифуркационным множеством, а оно лежит в пространстве управления; поэтому наблюдаемая скорость автоматически оказывается управляющей переменной. Но это допущение как-то извращает суть дела: реакцию испытуемого наиболее естественно считать поведенческой переменной, и пока эта возможность не исключена, неразумно предполагать иное. Принятие наблюдений скорости за управляющую переменную порождает две проблемы. Первая — подыскать переменную состояния; вторая — объяснить, почему все точки сидят над бифуркационным множеством, а остальная часть многообразия катастрофы фактически незаселена. Именно для того чтобы решить эти проблемы, и было предложено использовать „оценку скорости".
Допустим, что мы поступим естественным, очевидным образом и будем рассматривать скорость как поведенческую переменную. Меру интроверсии/экстраверсии по-прежнему разумно использовать в качестве управляющего параметра, а именно в качестве расщепляющего фактора, ибо в этом и состоит ее действие. Поскольку теперь нормальный фактор на рис. 17.11 отсутствует, этот рисунок представляет собой проекцию многообразия катастрофы при виде сбоку. Если в качестве первого приближения мы совсем проигнорируем вторую управляющую переменную, то можно ожидать, что мы увидим какое-нибудь сечение катастрофы сборки, так что точки должны группироваться около обычной „вилообразной" кривой, как на рис. 17.16 (а) или (Ь). Наиболее характерная черта катастрофы сборки при виде сбоку — это параболическая „дыра" неустойчивых состояний; можно попытаться подобрать по данным точкам параболу, проходящую через них или лежащую внутри дыры. (Чтобы не впасть в противоречие с одним из сделан-
Это довольно сложное поведение потенциальной функции можно охватить единой геометрической картинкой, делающей всё чрезвычайно наглядным, нарисовав многообразие катастрофы, или поверхность равновесия, в пространстве xab. Это — множество точек (х, а, Ь), удовлетворяющих уравнению (5.2), которое мы здесь перепишем так:
''многообразие катастрофы Л/
Многообразие катастрофы М является гладким подмногообразием в R3. Иногда думают, что М не гладко в начале, но это обман зрения. Гладкость становится очевидной, если изготовить трехмерную модель поверхности. Математически это можно усмотреть с помощью карты для М, определяемой „проекцией" из плоскости Y координат хна. Она представляет собой функцию
Теперь мы в состоянии дать геометрическую интерпретацию положений равновесия соответствующей динамической системы. Для данной пары значений параметров (а, Ь) все положения равновесия получаются решением уравнения (5.2). Они могут быть, следовательно, описаны как х-координаты тех точек, в которых вертикальная прямая, проходящая через (а, Ь), пересекает многообразие катастрофы М. Геометрически очевидно, что если (а, Ь) лежит в области Е, внешней по отношению к бифуркационному множеству В, то найдется лишь одно такое х; действительно, над точками Е лежит лишь один „лист" поверхности М. В то же время над точками (а, Ь) области / расположены три лис-
Это уравнение имеет тот же самый вид, что и уравнение (5.2); здесь t играет роль переменной состояния, а X и У — параметров управления. Следовательно, поверхность, определяемая уравнением (5.8) в пространстве XYt, та же самая, что и многообразие катастрофы для канонической сборки Уитни.
Итак, если для машины Зимана (§ 1 гл. 5) выбрать положение управляющих параметров (а, Р), для которого упругая энергия, выраженная как функция от 0, имеет лишь мор-совские критические точки, то эта точка (а, Р) обладает такой окрестностью, что изменение управления в ее пределах не оказывает — топологически — никакого эффекта. Критические точки сдвигаются как гладкие функции от управления (это та часть приведенного выше доказательства, где действует теорема о неявной функции) и с точностью до перепараметризации Э и добавления константы, зависящей от точки управления, ничего не изменяется. Вблизи таких точек, и только там, многообразие катастрофы можно представлять себе локально как график „многозначной функции" с несколькими листами (см. примеры гл. 5).
где Vc(x)=V(x, с); это — множество всех критических точек всех потенциалов Vc из нашего семейства V. (Многообразие катастрофы действительно является многообразием, если семейство V универсально как деформация; фактически это одно из следствий трансверсальности. Пример из § 2 гл. 6 показывает, что что-нибудь в таком роде предположить необходимо. Поскольку элементарные катастрофы универсальны по построению, в нашем случае М всегда будет многообразием.)
числовой коэффициент введен, чтобы упростить дальнейшие вычисления. Многообразие катастрофы М определяется уравнением
Всю геометрию катастрофы суммирует рис. 9.1. Многообразие катастрофы представляет собою параболу, бифуркационное множество состоит из одной точки; налево от нее имеются два состояния (максимум и минимум), направо — ни одного.
и многообразие катастрофы задается уравнением
Сравнивая коэффициенты, видим, что г==0(из сравнения кубических членов), а значит Ь=0; далее, c=s2, a=2s. Исключая s, получаем уравнение нашей кривой: й2=4с. Но для того чтобы корни производной оказались вещественными, s должно быть отрицательным, значит и а отрицательно. Вид графиков функций от х (потенциалов), отвечающих некоторым представительным, в смысле их расположения относительно бифуркационного множества, точкам из С, показан на рис. 9.7, а то, как многообразие катастрофы располагается над бифуркационным множеством, видно по двум представительным сечениям, изображенным на рис. 9.8.
 Читайте далее:
 Материальной ответственности
Материального обеспечения
Материально технических
Мышечного напряжения
Материалы характеризующие
Материалы международной
Материалы оборудование
Материалы содержащие
Максимально переносимая
Материалами оборудованием
Материалам относятся
Материала конструкции
Материала облицовки
Материала укрепляемого
Материалов характеризуется
|
