|
Разностной аппроксимации
Дифференциальные уравнения (1) можно приближенно решать численно при помощи конечно- разностных уравнений
Дифференциальные уравнения (1) можно приближенно решать численно при помощи конечно-разностных уравнений
ткани и основные функциональные системы организма и соответственно составить имитационные модели биологических процессов, протекающих в данных субстратах. В этом случае наиболее адекватным математическим аппаратом являются системы дифференциальных или (особенно учитывая необходимость моделирования на ЭВМ) системы разностных уравнений. Таким образом, возможные состояния организма могут быть интерпре-тированы как точки некоторого векторного пространства, в котором протекание физиологических процессов изображается траекторией. Простые математические соображения показывают, что оператор, описывающий структуру отношений в биологической системе, должен быть нелинейным. Это обстоятельство имеет глубокий биологический смысл, поскольку в противном случае было бы невозможно адекватно интерпретировать факт существования в биологической системе многих стационарных состояний или состояний регулярного циклического изменения физиологических параметров.
Неявная схема свободна от ограничений на выбор шагов, налагаемых условием Куранта. К ее недостаткам следует отнести необходимость решения теми или иными итерационными методами нелинейных систем алгебраических конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения математической модели. Однако в процессах, связанных с достаточно резкими изменениями коэффициентов и правых частей системы, что может быть обусловлено, например, фазовыми переходами и сменой режима теплообмена со стенкой канала или межфазного теплообмена, и в случае неявной схемы из условий сходимости могут потребоваться достаточно малые шаги по времени,
линеаризация системы конечно-разностных уравнений;
использование описаний в гл. 3 "шахматной" расчетной сетки (рис. 4.2). Реализация этих путей в машинной программе RELAP-5 приводит к следующей системе конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих исходную систему основных дифференциальных уравнений (4.9) -(4. 13) :
Система пяти линейных алгебраических конечно-разностных уравнений (4.94) —(4.98) содержит шесть неизвестных переменных, определяемых на (п + 1)-м слое по времени: давление р, плотность смеси р , массовое паросодержание х, внутреннюю энергию смеси ит. Замыкающее систему уравнении состояние, имеющее вид рт =f(p, x, ит), также линеаризуется путем разложения в ряд Тейлора:
оно используется для исключения плотности смеси Ртиз числа неизвестных переменных системы. Для N ячеек расчетной сетки по координате z система конечно-разностных уравнений модели имеет порядок 5N х 5N. Однако специфика выбора "неявностей" при конечно-разностной аппроксимации по частично неявной схеме исходной системы дифференциальных уравнений нестационарной термогидравлики двухфазных потоков в машинной программе RELAP-5 позволяет снизить порядок решаемой на каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений до значения N х N. Это достигается исключением из системы конечно-разностных уравнений, записанных для данной ячейки расчетной сетки, всех неизвестных переменных, кроме давления р, которое выражается через давления в соседних ячейках.
Возможность подобной процедуры обусловлена линейностью системы конечно-разностных уравнений, а также тем, что конечно-разностные уравнения импульсов содержат в качестве неизвестных переменных лишь давление и скорости фаз. Последовательность действий следующая: разрешение двух уравнений импульсов относительно скоростей фаз wg и Wj подстановка полученных выражений в уравнения массы и энергии, которые содержат значения массы и энергии лишь в узле рассматриваемой расчетной ячейки; сведение полученной системы из трех линейных алгебраических уравнений к одному уравнению, описывающему связь между давлением в данной ячейке и давлениями в соседних ячейках расчетной сетки. Для N ячеек это приводит к системе TV x ^линейных алгебраических уравнений.
Методика численного решения. В машинной программе TRAC основная система дифференциальных уравнений (4.132) — (4.136) математической модели неравновесного двухфазного потока со скольжением фаз при численном решении аппроксимируется системой конечно-разностных уравнений на описанной в гл. 3 "шахматной" расчетной сетке. В зависимости от скорости потока используются различные схемы конечно-разностной аппроксимации, а именно - при высоких скоростях потока, возникающих вблизи места нарушения герметичности, на стадии истечения теплоносителя при обрывах магистралей применяется полностью неявная схема, в остальных случаях - частично неявная схема, обеспечивающая исключение скорости звука в условии стабильности Куранта. Переход от одной схемы аппроксимации к другой осуществляется в одноячеечной зоне расчетной сетки с помощью специальной аппрок-симационной схемы.
При использовании частично неявной схемы аппроксимации система конечно-разностных уравнений имеет вид:
Добавочные уравнения могут быть получены путем конечно-разностной аппроксимации дифференциальных соотношений системы (3.4а), относящихся к проходящей через точку Njt п + I характеристике d!z =wmdt, определяющейся макро движением двухфазной смеси. Однако при этом необходимо знать положение и компоненты вектора неизвестных для некоторой точки 0 данной характеристики (рис. 3.1). Таким образом, появляются дополнительные семь неизвестных tQ, z0, wmo, p0>
Весьма эффективным, обладающим многими достоинствами метода характеристик, но отличающимся присущей конечно-разностным методам высокой скоростью счета является метод численного решения, основанный на приведении основной системы дифференциальных уравнений математической модели нестационарного двухфазного потока к характеристической форме [24] и последующей конечно-разностной аппроксимации полученной системы дифференциальных уравнений.
Следующим шагом является конечно-разностная аппроксимация системы дифференциальных уравнений (3.17) или (3.18). Вид схемы конечно-разностной аппроксимации, естественно, вытекает из того факта, что система дифференциальных уравнений имеет характеристическую форму. При этом существенно, что дифференциальные уравнения представленной в характеристической форме системы (3.18) совпадают с уравнениями, описывающими условия согласования на характеристиках (3.4а) в методе характеристик.
рис. 3.2. Схема конечно-разностной аппроксимации системы уравнений в харак- — теристической форме:
Характерной особенностью конечно-разностной аппроксимации уравнений системы (1.30) является, как правило, использование "шахматной" расчетной сетки. Значения переменных ^, р%, h^, p относятся к узлам некоторой секти / по координате z, которую можно назвать основной, а значения скорости wm относятся к узлам вспомогательной сетки, совпадающим с границами расчетных ячеек основной сетки и имеющим нумерацию/ - 1/2,/ + 1/2 и т.д. (рис. 3.3) .
Еще одной характерной особенностью конечно-разностной аппроксимации уравнений системы (1.30) является выбор при описании конвективных потоков на данной границе расчетной ячейки в качестве значения переносимой величины ее значения в узле, расположенном вверх по потоку.
Весьма существенное влияние на эффективность численного решения задачи оказывает выбор явной или неявной схемы конечно-разностной аппроксимации исходной системы дифференциальных уравнений.
В связи с этим в современных машинных программах для улучшенного численного анализа нестационарных теплогидравлических процессов применяются полунеявные схемы конечно-разностной аппроксимации исходной системы дифференциальных уравнений. Выбор степени неявности схемы обусловливается, с одной стороны, возможно большим сокращением итерационных процессов при переходе по времени от одного слоя к другому, с другой стороны - возможно меньшими ограничениями на величину шага по времени.
использование частично неявной схемы конечно-разностной аппроксимации исходной системы дифференциальных уравнений; применение аппроксимации по неявной схеме лишь для тех членов уравнений, которые необходимы для обеспечения устойчивости численного решения, получения условия Куранта в виде (333), не содержащем скорость звука в двухфазной среде, а также для членов уравнений, описывающих физические явления, характеризующиеся малыми постоянными времени;
Следует отметить, что при конечно-разностной аппроксимации конвективных потоков массы и энергии значения массы и энергии выбираются равными значениям соответствующих величин в соседней ячейке, расположенной вверх по потоку от рассматриваемой ячейки. Таким образом, скалярные величины Тр, р" , р^ и , и^ в (4.94), (4.98) определяются по общему выражению
Конвективные потоки ^в дифференциальных уравнениях импульсов (4.11) и- (4.12) аппроксимируются по схеме, отличной от схемы конвективных потоков в уравнениях массы и энергии. А именно, в результате конечно-разностной аппроксимации конвективных потоков.импульсов в конечно-разностные уравнения (4.96) и (4.97) входят соответствующие центральные разности и члены, в определенном смысле аналогичные вязкостным членам и имеющие вид
 Читайте далее:
 Разработке месторождений
Разработке технологических
Разработки месторождений
Разработки соответствующих
Результаты численного
Разработку конструкторской документации
Разрешается использовать
Разрешается пользоваться
Работников производится
Разрешается располагать
Разрешается устанавливать
Разрешающей способности
Работников производственных
Разрешения соответствующих
Разрежение обеспечивающее
|
|
|
