Структурной устойчивости
Многое здесь еще не поддается анализу. Многое уже проанализировано, причем применялось великое множество математических методов. В этой книге мы будем иметь дело с одним математическим подходом, в рамки которого единообразно укладывается обширная область явлений такого рода. Методы, которые при этом используются, были развиты французским математиком Ренэ Томом и стали широко известными благодаря его книге „Структурная устойчивость и морфогенез" [1], где они были предложены в качестве математической основы для биологии. Те внезапные изменения, о которых тут идет речь, были окрещены Томом катастрофами, для того чтобы выразить ощущение резкой или драматической перемены. Это слово, к сожалению, несет в своем значении оттенок бедствия, который в большинстве приложений неуместен. Но весь предмет с тех пор получил известность как теория катастроф — словосочетание, представляющее большую свободу толкования, в зависимости от принятой точки зрения.
6 Структурная устойчивость
точка структурно неустойчива. Далее, структурная устойчивость является типичным свойством в смысле, который мы объясним позднее. Однако, как мы увидим в гл. 7, в случае семейств гладких функций ситуация будет совсем иной.
Структурная устойчивость морсовских функций может быть получена как следствие теоремы Тома об изотопии, и такой вывод имеет некоторые преимущества по сравнению с более элементарными рассуждениями, которые мы использовали ранее. Действительно, условие невырожденности матрицы Гессе в точности совпадает с условием, чтобы матрица Якоби отображения
СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
122 ГЛАВА 6 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ГЛАВА б СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
2 Структурная устойчивость семейств
§ 2 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СЕМЕЙСТВ 1
126 ГЛАВА 6 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
В литературе внутри данной области науки разным вещам стараются давать разные названия, но часто случается, что одно и то же название встречается в различных областях, имея в каждой из них свое значение. И, пожалуй, нет более распространенного названия, чем структурная устойчивость. Это понятие было впервые введено в контексте дифференциальных уравнений русскими математиками А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным в 1937 г. (под названием „грубых систем"); оно привело к общему понятию структурно устойчивых динамических систем, где по пункту (а) мы допускаем малые возмущения рассматриваемых дифференциальных уравнений, а в (Ь) требуем топологической эквивалентности соответствующих множеств кривых, изображающих решения. Что же касается теории катастроф, то здесь (а) допускаются малые гладкие возмущения соответствующего семейства функций и (Ь) требуется более силь-
Выход этой книги на русском языке — языке, на котором была развита столь значительная часть излагаемой в ней теории, а также объемлющей ее теории динамических систем,— является для авторов высокой честью. Одним из пионеров качественного анализа динамических систем был А. М. Ляпунов. В нашем обсуждении структурной устойчивости отмечается русское происхождение этого понятия. Впоследствии советские исследователи внесли в разработку топологического подхода к нелинейной динамике вклады слишком многочисленные, чтобы можно было перечислить их все; из ранних работ особенно отметим книгу „Теория колебаний" А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина :, из последних — работы В. И. Арнольда по теории особенностей и динамике.
Именно из союза теории особенностей и динамики родилась „теория катастроф". Предмет ее не вполне определен; Ренэ Том считает ее умонастроением, а не теорией в обычном смысле. (Правда, и сам этот обычный смысл не вполне определен, и история, скажем, теории инвариантов обнаруживает тот же психологический характер.) Умонастроение неизбежно меняется от одного специалиста по катастрофам к другому, но общими чертами остаются: особое внимание к типичности, к структурной устойчивости и к геометрической точке зрения. Применение этих понятий и этой точки зрения, вкупе с созданным для их обслуживания техническим инструментарием, и характеризует в грубых чертах теорию катастроф в ее самом широком смысле.
После появления в середине 60-х годов первых слухов о готовящейся книге Ренэ Тома „Stabilite structurelle et mor-phogenese", вышедшей в конце концов в 1972 году *, быстро возрос интерес к предмету, известному теперь как теория катастроф. Том предложил использовать топологическую теорию динамических систем, ведущую начало от работ Пуанкаре, для моделирования разрывных изменений в явлениях природы, и особенно в биологии; он указал на важность в этих рассмотрениях требования структурной устойчивости, или нечувствительности к малым возмущениям. Он также отметил, что при некоторых условиях из этого требования вытекает, что изучаемую систему можно описать локально посредством одной из семи стандартных форм •— элементарных катастроф.
Независимо от того, как выбраны радиус г колесика, длины а и b резинок ВА и ВС (в нерастянутом состоянии) и расстояние ОА (лишь бы оно было больше, чем а+г), качественная картина явления окажется такой, как мы ее описываем ниже. В этом факте проявляется свойство „структурной устойчивости", которое мы будем подробно обсуждать дальше: изменения параметров не приводит к существенным качественным изменениям в поведении системы; более точно об этом будет сказано в свое время. Тем не менее мы будем иметь в виду машину, для которой приняты определенные размеры; анализ ее работы будет нами проведен с помощью чертежа, построенного компьютером (рис. 1.2). Поэтому сейчас мы приведем детальные инструкции для машины, размеры которой в точности отвечают этому чертежу.
В следующих двух параграфах вводятся нужные понятия, в третьем обсуждаются геометрические причины структурной устойчивости.
Причина, по которой мы вводим определение таким образом,— желание удержать полезное свойство структурной устойчивости. Так, если С' есть ось у, a C(t) — точка (t3, 0), то образ С — это в точности ось х, трансверсальная к оси у. Но, возмутив немного С, а именно заменив (t3, 0) на (t3—s<, 0) с положительным е, мы получим траекторию, пересекающую С' три раза вместо одного — очевидное качественное отличие. Это могло случиться только потому, что скорость bylo, 0), с которой точка С (t) пересекает С', равна
Распространение понятия структурной устойчивости на случай семейств функций позволяет существенно пояснить всё. Структурно устойчивое семейство, как правило, включает в себя отдельные функции с вырожденными критическими точками, и, грубо говоря, чем больше семейство, тем сильнее может быть вырожденность. Окружающие члены семейства как бы сдерживают, успокаивают вырожденную функцию; это формализуется во введенном Томом понятии деформации 1, которое мы изучим в гл. 8. В данной главе мы обсудим этот тип структурной устойчивости и установим его связь с предыдущими примерами; относящаяся сюда математическая теория будет развита в гл. 7 и 8.
Понятие структурной устойчивости распространяется те-а °?УЧаЙ семейств естественным образом. Если /•
Из структурной устойчивости катастрофы сборки следует, в частности, что малые погрешности при построении машины Зимана не должны заметно влиять на ее поведение. (Эксперимент показывает, что даже очень большие погрешности могут не приводить ни к чему плохому. Иногда „локальное" менее локально, чем это ожидают.)
§ 3 ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 127
Итак, имеется много различных понятий структурной устойчивости. Будет ли в данном конкретном приложении понятие, наиболее удобное математически, наилучшим образом отвечать требованию физической повторяемости, зависит от ситуации, и этот вопрос должен быть изучен отдельно в каждом отдельном случае. Общее требование состоит в том, что всё устойчивое настолько, чтобы быть повторно наблюдаемым, должно быть структурно устойчивым, а уж в каком смысле понимать структурную устойчивость, зависит от требующего.
 Читайте далее:
 Строительные конструкции
Строительных материалах
Строительных мероприятий
Строительных сооружений
Строительными организациями
Соответствующими профсоюзными
Схематическое представление
Строительного проектирования
Строительному проектированию
Сексуальное домогательство
Сигнальные устройства
Строительства промышленных
Строительством предприятий
Строительство реконструкцию
Сигнальными устройствами
|
