Устойчиво симметричной
Устойчиво симметричная
t • - Неустойчиво симметричная
Устойчиво симметричная точка ветвления, которая возникает, например, ТГ"задаче об устойчивости^ эйлерового_стержня_, также классифицируется Томом как сборка вследствие их полного топологического подобия. Сборка при эйлеровой потере устойчивости будет рассмотрена в следующей главе.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы изобразить поверхность-равновесия в трехмерном пространстве обобщенных координат — переменной состояния Q и двух управляющих параметров Р и е (рис. 35), Видно, что устойчиво симметричная точка бифуркации эйлерова стержня является катастрофой сбо/жм._ Обсуждение эй-леровой потери устойчивости в терминах теории" катастроф была дано Чиллингуортом [163] и Зиманом [164].
Итак, имеется устойчиво симметричная точка ветвления, и, поскольку в рассматриваемой задаче энергия не содержит кубических членов, анализ методом Рэлея — Ритца в рамках модели с одной степенью свободы дает правильную начальную кривизну траектории закритического равновесия.
Устойчиво симметричная точка бифуркации, показанная на рис. 48, это устойчивая сборка, встречавшаяся при рассмотрении упругого стержня. Она возникает также в различных задачах о потере устойчивости и закритическом поведении упругих пластин, которые в закритической области гораздо жестче и в связи с этим более удобны для применения в упругих конструкциях по сравнению со значительно более гибкими стержнями.
Неустойчиво симметричная точка бифуркации, показанная на рис. 49, представляет собой неустойчивую сборку и также уже встречалась при рассмотрении устойчивости непологой арки. Она часто возникает в задачах о потере устойчивости упругих оболочек, очень чувствительных к несовершенствам, в противоположность к более слабой чувствительности, наблюдаемой у ферм и арок. Именно эта слабая чувствительность к несовершенствам позво-
Рис. 50. Шесть обычных точек ветвления теории упругой устойчивости. В верхнем ряду — три изолированные точки: асимметричная, устойчиво симметричная и неустойчиво симметричная. В нижнем ряду — три полусимметричные точки: моноклинная, гомоклинная и антиклинная.
Видно, что система может иметь синусоидально изменяющуюся пространственную структуру. На рис. 79 изображены результаты нелинейного исследования возмущений, проведенного Аух-мути и Николисом [253]. Если волновое число п — четное, то имеется устойчиво симметричная статическая бифуркация, приводящая к образованию устойчивых закритических диссипативных структур. Если число п — нечетное, то имеется асимметричная статическая бифуркация, ведущая к образованию транскритических диссипативных структур с устойчивыми областями, обозначенными Jiaj?^})HKe сплошной линией. Таким образом, если химические вещества распределены в пространстве вдоль линии, то как пространственные, так и временные структуры могут спонтанно образовываться из-за неустойчивости основной термодинамической ветви.
Рис. 94. Тэйлеровекие вихри между цилиндрами, поясняющие, как появляется в идеализированной ситуации устойчиво симметричная точка ветвления и наблюдаемая в эксперименте структурно устойчивая наклонная сборка. Экспериментальные результаты Бенджамина [50] воспроизводятся с разрешения Royal Society of London.
— — неустойчиво симметричная 17,
Возвращаясь к роли нелинейности, рассмотрим три типичные статические бифуркации, показанные на рис. 7. Они моделируют механическую систему типа шарика, катающегося по поверхности энергии, которая деформируется, если приложена нагрузка Л. В первой асимметричной точке бифуркации [36], наблюдаемой при потере устойчивости рам, минимум и максимум сливаются и затем снова расходятся. Во второй устойчиво симметричной точке бифуркации, известной конструкторам по поведению эйлерова стержня, исходный минимум переходит в широкую яму с маленьким пиком в центре. Третья картина демонстрирует неустойчиво симметричную точку бифуркации, которая является обращением
Случай положительных D представляет динамический аналог устойчиво симметричной точки бифуркации. Тривиальное состояние
Примером устойчивой сборки (сейчас мы переходим от консервативных механических систем к механике жидкости) является классическая гидродинамическая неустойчивость течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (см. рис. 94 гл. 7). Если цилиндры длинные, так что краевыми эффектами можно пренебречь, то при увеличении угловой скорости основное циркуляционное течение i становится неустойчивым в устойчиво симметричной закритиче- , ской точке ветвления. Как показано в верхней части графика на ! рис. 94, эта статичшшя бифуркация вызывает образование устой- \ чивых вихрей, названных в честь Тэйлора (G. F. Taylor). j
Рис. 48. Каноническая диаграмма устойчиво симметричной точки ветвления, показывающая кривые нагрузка — перемещение и кривую чувствительности к несовершенствам.
Когда момент количества движения невелик, имеется лишь одна траектория равновесия, лежащая на оси а=Ъ, р=0. Это сплющенные сфероиды Маклорена. Видно, что сплющенные сфероиды суть состояния равновесия вплоть до бесконечного значения момента количества движения, которому соответствует бесконечно тонкий неограниченный -диск. Однако эта траектория равновесия становится неустойчивой в устойчиво симметричной точке бифуркации В, пример устойчивой сборки, где она пересекает траекторию равновесия, соответствующую эллипсоидам Якоби с
Вторичные бифуркации могут быть связаны либо с близостью устойчиво симметричной и асимметричной точек ветвления, и^ в этом случае они обусловлены омбилической катастрофой, либо с близостью двух устойчиво симметричных точек ветвления, в этом
вает, что потеря устойчивости имеет вид устойчиво симметричной точки ветвления (рис. 94), или, по терминологии гидродинамиков, соответствует закритической бифуркации. Для такой устойчивой
Для шарнирно опертой трубы, у которой нет поперечных перемещений на концах и один конец служит для выпуска жидкости в атмосферу, сила со стороны жидкости MU2 будет по существу консервативной. Она может изогнуть первоначально прямую упругую трубу при критической продольной нагрузке Эйлера, равной ДШ2=л2?7//А Выражение в правой части уравнение было получено в гл. 2 в случае механического нагружения. Здесь EI — жесткость трубы на изгиб, a L — длина трубы между шарнирными опорами. Такую статическую потерю устойчивости называют дивергенцией для того, чтобы отличить ее от колебательного динамического флаттера. Она идентична статической потере устойчивости, которая наблюдается у механически нагруженного стержня и соответствует нелинейной устойчиво симметричной точке ветвления, в которой основная траектория безызгибного равновесия пересекает траекторию устойчивого закритического равновесия [305].
Возвращаясь к роли нелинейности, рассмотрим три типичные статические бифуркации, показанные на рис. 7. Они моделируют механическую систему типа шарика, катающегося по поверхности энергии, которая деформируется, если приложена нагрузка Л. В первой асимметричной точке бифуркации [36], наблюдаемой при потере устойчивости рам, минимум и максимум сливаются и затем снова расходятся. Во второй устойчиво симметричной точке бифуркации, известной конструкторам по-поведению эйлерова стержня, исходный минимум переходит в широкую яму с маленьким пиком в центре. Третья картина демонстрирует неустойчиво симметричную точку бифуркации, которая является обращением
Случай положительных D представляет динамический аналог устойчиво симметричной точки бифуркации. Тривиальное состояние
Примером устойчивой сборки (сейчас мы переходим от консервативных механических систем к механике жидкости) является классическая гидродинамическая неустойчивость течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (см. рис. 94 гл. 7). Если цилиндры длинные, так что краевыми эффектами можно пренебречь, то при увеличении угловой скорости основное циркуляционное течение становится неустойчивым в устойчиво симметричной закритиче-ской точке ветвления. Как показано в верхней части графика на рис. 94, эта статическая бифуркация вызывает образование устойчивых вихрей, названных в честь Тэйлора (G. I. Taylor).
 Читайте далее:
 Устройства блокировки
Устройства используемые
Углекислотный огнетушитель
Устройства предназначенные
Устройства предупреждающие
Устройства противопожарных
Углекислотных огнетушителей
Устройства трубопроводы
Увеличении расстояния
Устройства установленного
Углекислотного огнетушителя
Устройство аварийной
Устройство автоматического
Устройство необходимо
Углекислотно бромэтиловые
|
